炎德·英才大联考 2024年春季高一年级入学暨寒假作业检测联考数学试题

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全国100所名校高考模拟示范卷人(2)由(1)知当a=1时，f(x)为增函数，又.f(0)=0十1=1，∴.f(x)>f(0)=1,即x十cosx>1,x>1-cosx.要证当x>0时，e+2>(x十2)(1-cosx),只需证明当x>0时，e十2>x(.x十2)，即证明e-x2-2x十2>0在(0，十o∞)上恒成立.设g(x)=e-x2-2x十2，则g'(.x)=e一2x-2.令h(x)=e一2x-2,则h'(x)=e-2,易知h(x)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2,十∞)上单调递增.h(0)<0,h(2)>0,∴.h(x)在(0，十∞)上只有一个零点xo(00,.e-x2-2x+2>0,即e+2>(x+2)(1-cosx),得证.…………17分19.【命题意图】本题考查数列与新定义，考查创新意识与应用意识，要求考生掌握等比数列的通项公式与合理利用实数的性质解决问题，【解题分析】(1)由(a,1)⊕(17,19)可知，a☒17=a☒19=1，即17除以a的余数与19除以a的余数都等于1，不妨设17=xa十1(x∈Z*),19=ya十1(y∈Z).则=兰y一竖放u为16和18的公内式又u为水效，期4一2…4分(2)因为a-,-1,所以二1-(-1)(+，+1)-因为N,所以+a:十1>2，则a:一1=2，因此-3，一13,1十一16,1一一10,1一0(1，十)=6，由题意可知a1=2,a2=3,l11-6,所以a4一a防必)(0：十，)一010，…10分(3)由题意可知m,←N)n1为岭比数列，所以m:二-，M=L`m2一m111w=1-mw-8因为m1,2,m,…,m儿M的所有正因牧，1，M所以m=1,m,-M,m-1一mM,m-一m)'M-M-mM位：化简得(m:一m)-m,-1,代入上式得一m-18m2 m3所以m=(学户，由此可知，是完全方数由于m2=p是M的最小素因子，g是方数，故只能m3=p2从而m2-m,m3-m2,…,mn-mm-1为p-1,p2-p,p3-p2,…,p-1一p-2,即m1,2,m3,…,u为1，p,p2,…,p-1,此时相应的M为p"-1,故满足条件的M为所有形如p“(p是素数，α∈N,a≥3)的数.…17分数学卷参考答案（七）第6页（共6页）【24·(新高考)ZX·MNJ·数学·Y)

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